elo分数

有很多比赛都是参赛者之间两两对局。假如我有很多这种两两对局的胜负数据，如何对每个参赛者的水平打分？
等级分 - 维基百科，自由的百科全书

公式和计算规则：

假设棋手A和B的当前elo分数分别为和，则elo分数按照Logistic distribution来估计A对B的胜率为

类似B对A的胜率为 分数之间相对距离越大，游戏水平差距越大，胜率差距越大。从第二个式子可以看出，如果评分增大400，会增大十倍。

假如一位棋手A对棋手B在比赛中的真实得分为（胜=1分，和=0.5分，负=0分），和用上面的方法估计出的胜率不同，则棋手A的分数要作相应的调整，要让估计出的胜率向实际分数接近。具体的数学公式为
同样，棋手B的评分也应该相应调整

一般来说，对局中的在0-1之间，表示胜率。大多数比赛中有，同时根据的计算公式有，因此，即每次分数的更新，会让棋手AB之间分别拉近/推开相同的距离。其中超参数表示算法中设定的更新步长，在大师级比赛中通常为16。

例如，棋手A等级分为1613，与等级分为1573的棋手B战平。若K取32，则A的胜率期望值为，约为0.5573，因而A的新等级分为1613 + 32 · (0.5 − 0.5573) = 1611.166

上面只是说了如何更新分数，另一个问题是如何初始化分数，这又是另一个超参数。一般每个选手最开始分数都是相同的，比如400. 随着比赛进行，选手的分数会在每一局不断调整，但是整体上所有选手的平均分数依然是400，同时也可能出现负的分数。

总的说来，算法的超参数有

• 更新步长
• 用Logistic计算胜率时乘的系数
• 初始分数

失效的情况

这个算法假设A,B,C玩家之间的游戏水平/胜率，有某种偏序关系。即如果A比B强，B比C强，那么A比C强，并且A对C的胜率大于A对B的胜率。
反例就是石头剪刀布，石头剪刀布三名选手互相克制，难分高下。

什么时候完全成立

有同学可能会疑惑这个算胜率的公式从哪里来，难道是拍脑袋想出来的嘛？不完全是，应该可以通过对选手水平和游戏对局做一些假设来推出来。

或者也可以将它理解成一种机器学习模型…

另外它其实和rlhf里训练奖励函数里用到的思路一样。奖励函数要给句子评分，但是只有人类对句子之间两两的对比数据，怎么办？我们用同样的方法去根据奖励函数的评分来计算“赢率”，然后以赢率为损失函数。

总之，elo分数就是假设参赛者的水平可以用一个一维的分数衡量，进而希望用一维的分数，来预测参赛者两两之间的对局胜率。预测的越好，就说明评分更合理。

多人对局下的扩展

GitHub - djcunningham0/multielo
原repo已经把推导过程说的很清楚了，下面按自己的理解简单记录一下。另外建议也看看notebook。

• Expected scores
  • 根据elo分数计算出来的各个玩家的某种分数，各个分数总和为1且非负。（相当于上面双人情况下用elo分数计算出来的“赢率”）
  • 公式：
  • 理解：A的分数应该等于它和其它所有人两两对局的赢率的和。然后因为，所有人分数的和恰好等于全连接图的边数，因此除一个数来归一化
• Actual scores
  • 为了调整elo分数，需要计算每个玩家Expected score和Actual score的差值。二人对局时有输有赢，玩家赢了就是1，输了就是0. 为了扩展到多人比赛，将多人比赛结果的先后顺序作为输入，第一名分数最高，往后的人分数递减，最后一名零分。所有人分数和为1. 如下图所示，横坐标为排名，纵坐标为分数
  • 
• 更新elo分数
  • 公式：
  • 其中如果所有比赛参与的人数N都是固定的，其实就不用(N-1)那一项。如果每局比赛参加人数不同，就需要这一项了。因为参加N人比赛，可以理解为与所有其它N-1人进行了两两对局。